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TALLER 11

PRODUCTO DE MATRICES E INVERSA DE UNA MATRIZ

Podemos obtener el producto de dos matrices con Excel mediante la función MMULT y la inversa con la función MINVERSA.

Como la matriz producto es otra matriz de dimensión 3x3 vamos a hallarla en las celdas A6 hasta C8.

Para ello introduciremos en la celda A6 la expresión =MMULT(A2:C4;E2:G4). Observa que las dos matrices se separan por ; y cada matriz se determina por las celdas de sus esquinas: desde A2 hasta A4 para la primera matriz y desde E2 hasta E4 para la segunda. Pero como el resultado (matriz producto) no cabe en una sola celda es preciso seleccionar previamente las nueve celdas que la contendrán . Por ello debes seguir los siguientes pasos:

• Sitúa el cursor en la celda A6.
• Selecciona con el ratón el rectángulo A6:C8
• Mientras el área A6:C8 permanece resaltada introduce en A6 la expresión =MMULT(A2:C4;E2:G4)
• Pulsa simultáneamente las teclas CTRL.+MAYUSC+INTRO (pulsa primero CTRL y sin soltarla pulsa MAYUSC y por último INTRO)

Si pulsas únicamente la tecla INTRO obtendrás sólo el primer elemento de la matriz producto.

Para obtener la matriz inversa puedes proceder de forma similar. Vamos a hallar la inversa de la matriz introducida en las celdas A2:C4.

• Sitúa el cursor en la celda E6.
• Selecciona con el ratón el rectángulo E6:G8
• Mientras el área E6:G8 permanece resaltada introduce en E6 la expresión =MINVERSA(A2:C4). Pulsa simultáneamente las teclas CTRL.+MAYUSC+INTRO

La hoja creada puedes utilizarla para multiplicar dos matrices cuadradas de orden 3 cualesquiera o hallar la inversa de cualquier matriz de orden 3 (que admita inversa). Puedes mejorar su aspecto antes de guardarla añadiendo un nombre (A, B, AxB, A^-1) sobre cada matriz y coloreando el fondo para distinguir cada matriz.

Abre otra hoja nueva y prueba a multiplicar una matriz de dimensión 2x3 y otra de dimensión 3x4. Para el resultado deberás reservar un área de dos filas y cuatro columnas ( 8 celdas).

Intenta hallar la inversa de cualquiera de las matrices anteriores. Observa que no tiene sentido hablar de la inversa de una matriz no cuadrada. Comprueba de igual forma el error que se produce al realizar el producto anterior en orden inverso y multiplicar la matriz de dimensión 3x4 por la de dimensión 2x3.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

ASOCIATIVA.

Para comprobar la propiedad asociativa del producto de matrices introduce tres matrices a,b,c como en la figura siguiente y comprueba que a*(b*c)=(a*b)*c para ello las expresiones que debes incluir en el área E2:G4 y E6:G8 serán respectivamente :

=MMULT(A2:C4;MMULT(A6:C8;A10:C12)) y =MMULT(MMULT(A2:C4;A6:C8);A10:C12)

Comprueba que ambas matrices son idénticas y repítelo con varios ejemplos cambiando las matrices a, b y c.

NO COMMUNTATIVA

Recordar que el producto de matrices (incluso de matrices cuadradas) no es commutativo, en general, es de gran importancia para resolver correctamente muchos ejercicios de ecuaciones matriciales.

Para comprobarlo crea una hoja como la de la siguiente figura y pruébala con diversos ejemplos de matrices a y b.

Las expresiones que debes incluir en el área E2:G4 y E6:G8 serán respectivamente :

MMULT(A2:C4;A6:C8) y =MMULT(A6:C8;A2:C4)

En algunos casos particulares si resulta ab=ba.

Introduce en b la matriz identidad.

Introduce en b la inversa de a.

DISTRIBUTIVA

Para comprobar la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de matrices construye una hoja como la siguiente y pruébala con varias matrices a, b, c.

Dada la sencillez de la suma de matrices, Excel no incorpora una función específica. Constrúyela de la siguiente forma:

En E2 introduce la expresión =A6+A10. Arrastra el cuadradito inferior derecho tres celdas hacia la derecha para copiar la expresión. Con las tres celdas seleccionadas, arrastra el cuadradito hacia abajo tres filas (hasta G4) para copiar la expresión hacia abajo.

Para obtener a*b+ac haz algo similar introduciendo en I6 la expresión =E6+E10 y copiándola hasta K8.

PRODUCTO DE MATRICES DE FORMA MANUAL

Aunque Excel proporciona una función que efectúa automáticamente el producto de matrices puedes elaborar una hoja que realice el producto para dos matrices cuadradas de orden 3 siguiendo el proceso que te han explicado para hacerlo manualmente (“filas por columnas”).

Puedes incluir en la misma hoja el producto obtenido con la función MMULT. Pruébala con distintos ejemplos y comprueba que obtienes el mismo resultado de las dos formas.

EJEMPLO:




COMENTARIO:
Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de
datos, ası como su manejo con excel por medio de formulas ya prediseñadas para nuestro facil manejo en busca del resultado ya sea el determinante o la inversa de una matriz.